有限 rack、quandle 与 kei 的枚举

阶为 $n$ 的 rack 是基数为 $n$ 的集合 $X$ 上的一个二元运算 $\rack$，使得右乘是一个自同构。更确切地说，$(X,\rack)$ 构成一个 rack 的条件是：对所有 $y\in X$，映射 $x\mapsto x\rack y$ 是双射，且对所有 $x,y,z\in X$，$(x\rack y)\rack z=(x\rack z)\rack (y\rack z)$。本文给出了阶为 $n$ 的 rack 的同构类数量形如 $2^{cn^2}$ 的上下界。对于 quandle 和 kei 的同构类数量，也得到了类似的结果。本文结果的建立首先展示了任意 rack 如何与其算子群（即由映射 $x\mapsto x\rack y$（对于 $y\in Y$）在 $X$ 上生成的置换群）相关联，然后应用了置换群的部分理论。rack 与其算子群之间的关系推广了 Joyce 和 Ryder 的结果；这一关系可能具有独立的意义。