整体共形曲线是仿射的或具有超欧几里得能量增长

我们证明整体共形曲线 $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 分为两类：要么该曲线是仿射的，要么球内平均能量在大半径时严格递增并发散至无穷。这种刚性源于一个缩小论证，以及广义 Cauchy--Riemann 方程与校准几何的强相互作用，还有 Almgren 给出的积分流体的精确等周不等式。作为应用，我们证明每条整体 Lipschitz 共形曲线都是仿射的。这可以被视为“具有有界复微分的整体全纯函数是仿射的”这一命题的高维类比。我们还回顾，$\mathbb{R}^n$（$n \geq 3$）中基于 Legendrian 环面的某个穿孔锥提供了一个子流形，对于该子流形，整体共形曲线给出一个共形覆盖映射。作为相关结果，我们证明如果非常值的整体共形曲线通过一个 $n$ 维子流形分解，则该子流形是校准的，且共形等价于 $\mathbb{R}^n$ 的平坦非紧商。