二次费米子哈密顿量本征态的纠缠熵

在一篇开创性论文 [D. N. Page, Phys. Rev. Lett. 71, 1291 (1993)] 中，Page 证明了随机纯态子系统的平均纠缠熵为 $S_{\rm ave}\simeq\ln{\cal D}_{\rm A} - (1/2) {\cal D}_{\rm A}^2/{\cal D}$，其中 $1\ll{\cal D}_{\rm A}\leq\sqrt{\cal D}$，这里 ${\cal D}_{\rm A}$ 和 ${\cal D}$ 分别是子系统和系统的 Hilbert 空间维数。因此，典型的纯态是（几乎）最大纠缠的。我们开发了计算二次费米子哈密顿量所有本征态的平均纠缠熵 $\langle S\rangle$ 的工具。特别地，我们推导了最一般平移不变模型的精确界限 $\ln{\cal D}_{\rm A} - (\ln{\cal D}_{\rm A})^2/\ln{\cal D} \leq \langle S \rangle \leq \ln{\cal D}_{\rm A} - [1/(2\ln2)] (\ln{\cal D}_{\rm A})^2/\ln{\cal D}$。由此我们证明： 如果子系统尺寸是系统尺寸的有限比例，则在热力学极限下 $\langle S\rangle<\ln{\cal D}_{\rm A}$，即对哈密顿量本征态的平均偏离了典型纯态的结果； 在子系统尺寸占系统尺寸比例趋于零的极限下，平均纠缠熵是最大的，即此类哈密顿量的典型本征态表现出本征态热化。