费米子高斯态的 Page 曲线

在一篇开创性论文中，Page 给出了纯随机态平均纠缠熵的精确公式。我们考虑纯费米子高斯态系综的类似问题，该系综在随机自由哈密顿量研究中起关键作用。利用随机矩阵理论近期结果，我们证明在 N 个自由度中取自 $N_A$ 个自由度的子系统的纯随机费米子高斯态的平均纠缠熵为 $\langle S_A\rangle_\mathrm{G}\!=\!(N\!-\!\tfrac{1}{2})\Psi(2N)\!+\!(\tfrac{1}{4}\!-\!N_A)\Psi(N)\!+\!(\tfrac{1}{2}\!+\!N_A\!-\!N)\Psi(2N\!-\!2N_A)\!-\!\tfrac{1}{4}\Psi(N\!-\!N_A)\!-\!N_A$，其中 $\Psi$ 为双伽马函数。其在热力学极限下的渐近行为为 $\langle S_A\rangle_\mathrm{G}\!=\! N(\log 2-1)f+N(f-1)\log(1-f)+\tfrac{1}{2}f+\tfrac{1}{4}\log{(1-f)}\,+\,O(1/N)$，其中 $f=N_A/N$。值得注意的是，其首项与 Lydzba、Rigol 和 Vidmar 所发现的具有粒子数守恒的随机二次哈密顿量本征态上的平均一致。最后，我们计算了热力学极限下的方差，由常数 $\lim_{N\to\infty}(\Delta S_A)^2_{\mathrm{G}}=\frac{1}{2}(f+f^2+\log(1-f))$ 给出。