多重分形遇上纠缠：非遍历扩展态的关联

在这项工作中，我们通过将 Don N. Page [Phys. Rev. Lett. 71, 1291] 的结果推广到稀疏随机纯态（S-RPS）的情形，建立了一般多体波函数的纠缠熵与分形维数 $D$ 之间的关系。这些生活在大小为 $N$ 的希尔伯特空间中的 S-RPS 被定义为仅含 $N^D$（$0 \le D \le 1$）个随机非零元素的归一化矢量。对于 $D=1$，Page 所用的这些态代表无限温度下的遍历态。然而，对于 $0<D<1$，S-RPS 是非遍历且分形的，因为它们被限制在完整希尔伯特空间的一个消失比例 $N^D/N$ 中。解析与数值上，我们均表明子系统 $A$（其希尔伯特空间维数为 $N_A$）的平均纠缠熵 ${\mathcal{S}_1}(A)$ 在分形维数 $D$ 较小、$N^D< N_A$ 时按 $\overline{\mathcal{S}_1}(A)\sim D\ln N$ 标度。值得注意的是，在较大的 $D$ 下 $\overline{\mathcal{S}_1}(A)$ 饱和于其在无限温度下的热（Page）值，$\overline{\mathcal{S}_1}(A)\sim \ln N_A$。因此，我们提供了一个例子：即使波函数高度非遍历，纠缠熵仍取遍历值。最后，我们将结果推广到 $q>1$ 的 Renyi 熵 $\mathcal{S}_q(A)$ 以及真正的多重分形态，并表明它们的涨落在遍历态 $D=1$ 更窄的邻域内具有遍历行为。