量子Motzkin自旋链的纠缠与关联函数

我们给出了Bravyi等人[Phys. Rev. Lett. 109, 207202 (2012)]提出的精确可解自旋链的确切结果。该模型是一个自旋1链，其哈密顿量在体上是局域且平移不变的。它有一个唯一的（无挫败的）基态，其能隙随系统尺寸（$2n$）多项式地小。基态的半链纠缠熵为 $\frac{1}{2}\log n+const.$。在此，我们首先将哈密顿量写为标准自旋基表示。我们证明在零温下，磁化沿 $z-$direction i.e., $\langle s^{x}\rangle=\langle s^{y}\rangle=0$（链上各处）。然后我们解析计算 $\langle s^{z}\rangle$ 和 $s^{z}$ 的两点关联函数。通过解析对角化约化密度矩阵，我们计算了以下情形的Schmidt秩、von Neumann和R\'enyi纠缠熵：1. 将链任意划分为两块（不一定在中间）；2. 中间居中的 $L$ 个连续自旋。此外，我们确定了纠缠哈密顿量（式49和59）。我们利用反射原理证明了一个关于格点路径组合的小引理（引理1），以关联并计算Motzkin游走“高度”与自旋期望值。我们还计算了密切相关的布朗漂移的（缩放的）关联函数。该模型的已知特征总结在第一节的表中。