秩1 DAHA 到 Mat(2,Tq) 的嵌入及其自同构

在这篇综述文章中，我们展示了 $\check{C_1}C_1$ 型 Cherednik 代数如何作为与第六个 Painlevé 方程相关的单值群群代数的量子化自然出现。这一事实自然导致了 $\check{C_1}C_1$ 型 Cherednik 代数到 $Mat(2,\mathbb T_q)$（即元素在量子环面中的 $2\times 2$ 矩阵）的嵌入。当 $q=1$ 时，该结果等价于说 $\check{C_1}C_1$ 型 Cherednik 代数是 2 次 Azumaya 代数 \cite{O}。通过对第六个 Painlevé 方程相关的单值群上的辫群和 Okamoto 变换的作用进行量子化，我们研究了 $\check{C_1}C_1$ 型 Cherednik 代数的自同构，并猜想存在一个新自同构。受 Painlevé 方程汇合现象的启发，我们对 arXiv:1307.6140 中定义的汇合 Cherednik 代数 $\mathcal H_V,\mathcal H_{IV},\mathcal H_{III},\mathcal H_{II}$ 和 $\mathcal H_{I}$ 给出了类似的嵌入。