2-进环$C^*$-代数的内部结构及其自同构群探析

我们对所谓的$2$-进环$C^*$-代数$\mathcal{Q}_2$进行了系统研究。这是由酉元$U$和等距元$S_2$生成的泛$C^*$-代数，满足$S_2U=U^2S_2$和$S_2S_2^*+US_2S_2^*U^*=1$。值得注意的是，它通过把$S_1$映射到$US_2$的单射同态包含Cuntz代数$\mathcal{O}_2=C^*(S_1, S_2)$的一个拷贝。主要结果中，相对交换子$C^*(S_2)'\cap \mathcal{Q}_2$被证明是平凡的。这进而导出包含$\mathcal{O}_2\subset\mathcal{Q}_2$所具有的刚性性质，即$\mathcal{Q}_2$上限制为$\mathcal{O}_2$恒等映射的自同态实际上在整个$\mathcal{Q}_2$上是恒等映射。此外，不存在从$\mathcal{Q}_2$到$\mathcal{O}_2$的条件期望。关于$\mathcal{Q}_2$的内部结构，对角子代数$\mathcal{D}_2$和$C^*(U)$均被证明在$\mathcal{Q}_2$中是极大交换的。后者的极大性使得能够彻底研究$\mathcal{Q}_2$的几类自同态和自同构。特别地，固定$U$的自同态半群结果是${\rm Aut}(\mathcal{Q}_2)$的极大交换子群，拓扑同构于$C(\mathbb{T},\mathbb{T})$。最后，通过显式构造表明${\rm Out}(\mathcal{Q}_2)$是不可数且非交换的。