Bessel 矩的椭圆积分求值

我们记录了量子场论、凝聚态理论及数学物理其他领域中出现的各种 Bessel 函数矩的闭式解已知情况。更一般地，我们推导了六个或更少 Bessel 函数乘积的积分公式。因此，我们能够发现并证明 $c_{n,k}:=\int_0^\infty t^k K_0^n(t) {\rm d}t$ 的闭式解，其中整数 $n=1,2,3,4$ 且 $k\ge0$，从而获得了关于偶矩 $c_{3,2k}$ 和 $c_{4,2k}$ 的新结果。我们还推导了奇矩 $s_{n,2k+1}:=\int_0^\infty t^{2k+1}I_0^{}(t) K_0^{n-1}(t) {\rm d}t$（$n=3,4$）以及 $t_{n,2k+1}:=\int_0^\infty t^{2k+1}I_0^2(t) K_0^{n-2}(t) {\rm d}t$（$n=5$）的新闭式解，并将后者与六角、金刚石和立方晶格上的 Green 函数联系起来。我们猜想 $s_{5,2k+1}$ 的值，在 $c_{5,2k+1}$、$s_{6,2k+1}$ 和 $t_{6,2k+1}$ 的求值上取得了实质性进展，并报告了关于 $c_{5,2k}$、$c_{6,2k+1}$ 和 $c_{6,2k}$ 的较有限进展。在此过程中，我们获得了 8 个猜想求值，每一个都已校验至 1200 位小数。其中一个深植于 4 维量子场论，另外两个可能通过精细的组合数学得以证明。仍有五个核心猜想难以攻克，其证明对数学家和物理学家都将最具启发性。