贝塞尔矩之间的二次关系

受某些费曼振幅计算的启发，Broadhurst 与 Roberts 近期猜想并以高精度数值验证了一组贝塞尔矩之间的显著二次关系：$$\int_0^\infty I_0(t)^i K_0(t)^{k-i}t^{2j-1}\,\mathrm{d}t \qquad (i, j=1, \ldots, \lfloor (k-1)/2\rfloor),$$ 其中 $k \geq 1$ 为固定整数，$I_0$ 与 $K_0$ 表示修正贝塞尔函数。本文将此类积分及其变体解释为 Kloosterman 联络对称幂的中部 de Rham 上同调与扭曲同调之间周期配对的系数。基于 arXiv:2005.11525 中发展的一般框架，这使我们能够证明 Broadhurst 与 Roberts 所建议形式的二次关系，据猜想其包含了这些数之间全部代数关系。我们还使 Deligne 猜想明确化，从而用贝塞尔矩的行列式解释了 Kloosterman 和对称幂矩的 $L$-函数临界值的诸多赋值。