通过晶格格林函数的围道积分对贝塞尔矩进行椭圆积分求值

本文证明了贝塞尔矩 $$M:=\int_0^\infty t I_0^2(t)K_0^2(t)K_0(2t) {\rm d}t ={1/12} {\bf K}(\sin(\pi/12)){\bf K}(\cos(\pi/12)) =\frac{\Gamma^6(\frac13)}{64\pi^22^{2/3}}$$ 的椭圆积分求值结果，该矩源于一个具有两倍内部质量的 2 圈 4 点 massive Feynman 图的角度平均。此求值结果源自六方晶格格林函数的围道积分，从而将 $M$ 与两个更易处理的矩的线性组合联系起来，其中一个由金刚石晶格的格林函数给出，两者均利用 W.N. Bailey 将 Appell 二重级数化为椭圆积分乘积的方法进行了求值。本文证明并广泛使用了来自等质量 Dalitz 图的椭圆积分的三次和 sesquiplicate 模变换。给出了求和规则 $$\int_0^\infty(I_0(a t)K_0(a t)-\frac{2}{\pi} K_0(4a t) K_0(t))K_0(t) {\rm d}t=0$$ 的推导，其中 $a>0$，通过对 Bailey 工作中的恒等式进行解析延拓得证；以及 $$\int_0^\infty t I_0(a t)(I_0^3(a t)K_0(8t)- \frac{1}{4\pi^2} I_0(t)K_0^3(t)) {\rm d}t=0$$ 的推导，其中 $2\ge a\ge0$，通过证明二维时空中的 Feynman 图生成了四维阶梯多边形的枚举得证。