椭球设计与 Prouhet--Tarry--Escott 问题

椭球设计的概念最初由 Pandey (2022) 提出，作为单位圆 $S^1$ 上球面设计的完整推广。本文阐明了研究椭球设计与二维 Prouhet--Tarry--Escott 问题（记为 ${\mathrm PTE}_2$）之间联系的优势，该问题最初由 Alpers 和 Tijdeman (2007) 引入，作为经典一维 PTE 问题（${\mathrm PTE}_1$）的自然推广。我们首先提供了一个组合准则，用于从一对椭球设计构造 ${\mathrm PTE}_2$ 的解。我们还给出了椭球设计 Stroud 型界的算术证明，随后建立了达到该界的设计的分类定理。该分类结果与 Cui、Xia 和 Xiang (2019) 讨论的关于 $S^1$ 上有理球面 $4$-设计存在性的一个开放问题密切相关。据作者所知，Alpers 和 Tijdeman 找到的解是 ${\mathrm PTE}_2$ 第一个且唯一已知的 $5$ 次参数理想解。此外，作为我们的主要定理之一，我们证明了 Alpers--Tijdeman 解等价于著名的 ${\mathrm PTE}_1$ Borwein 解的某种二维扩展。作为该定理的副产品，我们在 Alpers--Tijdeman 解中发现了一族椭球 $5$-设计。