五次次数的几何设计与Hilbert-Kamke方程及其对经典正交多项式的应用

本文阐明了考察Hilbert-Kamke方程与几何设计（或Chebyshev型数值积分）之间联系的优势对于经典正交多项式。我们首先建立，如果对称经典测度具有6个有理点且参数化为有理函数的5-设计，那么相应的测度应为区间$(-1,1)$上$(1-t^2)^{-1/2}dt/\pi$的Chebyshev测度。我们的证明基于某多项式恒等式与计算特定不可约曲线 genus 的某些高级技术的合作。接下来，我们证明了关于Chebyshev测度是否存在有理5-设计的必要充分条件。而且，作为我们的主要定理之一，我们通过利用Chebyshev测度的有理5-设计构造出一个无限族理想解，用于Prouhet-Tarry-Escott (PTE)问题，然后证明如此理想解在$\mathbb{Q}$上的仿射等价性包含著名的Borwein (2002)所发现的参数化解。