偶极图覆盖上的大象随机游走

在本文中，我们引入并分析了出现在偶极图覆盖上的二分周期格点上的大象随机游走（ERW）。我们关注二分划分的两部分中允许的步进方向互为相反且不相交的格点。在这样的图上，我们定义了一种ERW，其中每一步通过参考整个游走历史来选择。ERW在六边形格点上的情形是我们模型的原型例子。此类ERW的定义与渐近分析均不平凡，因为两者都强烈依赖于底层几何结构。我们的分析基于Pólya型瓮技术与鞅方法两种分析ERW的标准方法的结合。我们发现ERW的计数过程构成一个具有双周期生成矩阵的Pólya型瓮模型。通过对此类瓮模型的分析，我们证明了计数过程的大数定律。结合计数过程的结果与鞅方法，我们推导了ERW位置过程在扩散态和临界态下的非标准大数定律和中心极限定理，以及在超扩散态下的几乎必然和 $L^2$ 标度极限。