无限二面体群 $\mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_2$ 上的大象随机游走

大象随机游走最近在\cite{mukherjee2025elephant}中被研究在群$\mathbb{Z}^{*d_1} * \mathbb{Z}_2^{*d_2}$上，其Cayley图是$d = 2d_1 + d_2$度的无限$d$-正则树。研究发现，对于$d \ge 3$，大象游走具有与简单随机游走相同的渐近速度$\frac{d - 2}{d}$，且记忆参数仅出现在收敛到极限速度的速率中。在$d = 2$的情况下，存在两个这样的群，它们的Cayley图均为双无限路径。对于$(d_1, d_2) = (1, 0)$，该游走是$\mathbb{Z}$上的经典大象随机游走，表现出反常扩散。在本文中，我们研究另一种情况，即$(d_1, d_2) = (0, 2)$，对应于无限二面体群$D_\infty \cong \mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_2$。与$\mathbb{Z}$上的经典ERW（它是时间非齐次马尔可夫链）不同，$D_{\infty}$上的ERW是非马尔可夫的。我们证明游走者的有符号位置的一阶和二阶行为与$\mathbb{Z}$上的简单对称随机游走一致，记忆参数本质上通过一个可表示为$\mathbb{Z}$上大象游走显式泛函的低阶修正项来体现。我们的结果表明，与简单随机游走不同，大象游走对局部代数关系是敏感的。事实上，尽管$D_{\infty}$是几乎阿贝尔的，包含$\mathbb{Z}$作为有限指数子群，但其生成元的对合性质有效地中和了记忆，从而排除了任何潜在的超扩散行为，这与其阿贝尔表亲$\mathbb{Z}$上观察到的超扩散形成对比。