Schur型超额分拆模2的小幂算术性质的初等证明

2022年，Broudy与Lovejoy深入研究了函数 $S(n)$，其计数\emph{Schur型}的超额分拆（overpartition）个数。特别地，他们证明了 $S(n)$ 模 $2$、$4$ 和 $5$ 所满足的若干同余式。本文通过关注模为2的小幂的情形，扩展了他们所给出的 $S(n)$ 满足的算术性质列表。具体而言，我们证明了如下Ramanujan型同余式的无穷族：对所有 $\alpha\geq 0$ 和 $n\geq 0$，$$S\left(2^{5+2\alpha}n+\left(2^{5+2\alpha}-\frac{2^{2+2\alpha}-1}{3}\right)\right)\equiv 0 \pmod{16}.$$ 本文使用的所有证明技巧均为初等的，依赖于经典的 $q$-级数恒等式与生成函数操作，以及由Alaca、Alaca和Williams推广的参数化工作。