具有无穷多个求和项的 BRW 光滑化变换的基本不动点

分枝随机游动（BRW）光滑化变换 $T$ 定义为 $T:\text{distr}(U_{1})\mapsto \text{distr} (\sum_{i=1}^{L}X_{i}U_{i})$，其中给定点过程的一组实现 $\{X_{i}\}_{i=1}^{L}$ 后，$U_{1},U_{2},...$ 是条件独立同分布的随机变量，且 $0\leq \text{Prob}\{L=\infty \}\leq 1$。给定 $\alpha \in (0,1]$，$\alpha$-\emph{elementary}（基本）不动点是指 $T$ 的满足其 Laplace-Stieltjes 变换 $\phi$ 有 $\underset{s\to +0}{\lim}\dfrac{1-\phi(s)}{s^{\alpha}}=m$ 的不动点，其中 $m$ 为任意给定的正数。若 $\alpha=1$，这些即为具有有限均值的不动点。我们精确给出了基本不动点存在的条件。在此情形下，这些是 $T$ 仅有的不动点，且除一个乘法常数外唯一。这些结果不需要任何矩条件。特别地，Biggins 的鞅收敛定理在最一般的情形下得到证明。本质上我们应用了 Lyons (1997) 与 Goldie 和 Maller (2000) 的近期结果，因为我们方法的关键在于具有有限均值的不动点与永续年金之间的紧密联系。作为副产品，我们从一般结果中解出了 Pitman-Yor 问题。最后，我们研究了某些具有有限均值的不动点的尾部行为。