与平滑变换相关的极小类型随机不动点方程

本文致力于研究随机不动点方程 $X \stackrel{d}{=} \inf_{i \geq 1: T_i > 0} X_i/T_i$ 及其与平滑变换相关的加法对应方程 $X \stackrel{d}{=} \sum_{i\ge 1}T_{i}X_{i}$ 的联系。这里 $\stackrel{d}{=}$ 表示依分布相等，$T := (T_i)_{i \geq 1}$ 是一个给定的非负随机变量序列，$X, X_1, ...$ 是一个与 $T$ 独立的非负独立同分布随机变量序列。我们关注非平凡解的存在性问题，特别是称为 $\alpha$-正则解 $(\alpha>0)$ 的特殊解。我们完整回答了 $\alpha$-正则解何时存在的问题，并证明它们总是 Weibull 分布或某些周期变体的混合。我们还完整刻画了这类方程的所有不动点。一种导致研究某些乘法鞅的分解方法，以及经过适当变换后的逐路径更新方程，是我们分析的关键工具。最后，我们给出了上述相关加法方程不动点的相应结果。这些结果在某种程度上已被 Iksanov 先前得到。