寻找光滑变换函数方程所有解的一种简单方法

给定一个满足某些经典可积性假设的非增零序列 $T = (T_j)_{j \ge 1}$，其元素为非负随机变量，且对某个 $\alpha>0$ 有 $\mathbb{E}(\sum_{j}T_{j}^{\alpha})=1$，我们刻画了与所谓光滑变换及其 min 型变体相关的著名函数方程 $$f(t)\,=\,\textstyle\mathbb{E}\left(\prod_{j\ge 1}f(tT_{j})\right),\quad t\ge 0$$ 的解。为了在非负非增函数类中做到这一点，我们提供了一种新的三步法，其优点在于：(1) 在某些相关方面简化了早期方法，(2) 在所谓边界情形 $\mathbb{E}\big(\sum_{j\ge 1}T_{j}^{\alpha}\log T_{j}\big)=0$ 下以更弱且接近最优的条件适用，(3) 可望在如随机环境等更一般的设定中同样有效。在本文末尾，我们还给出了那些作为 Laplace 变换因而对应于光滑变换不动点的解与某些分形随机测度之间的一一对应。后者定义在与关联分支随机游动相关的加权树的边界上。