电网络、拉格朗日格拉斯曼流形与辛群

我们改进了 T. Lam \cite{L} 关于将具有 $n$ 个边界点的平面图上的电网络空间 $E_n$ 嵌入全非负格拉斯曼流形 $\mathrm{Gr}_{\geq 0}(n-1,2n)$ 的结果，首先证明了其像落入 $\mathrm{Gr}(n-1,V)\subset \mathrm{Gr}(n-1,2n)$，其中 $V\subset \mathbb{R}^{2n}$ 是一个特定维数为 $2n-2$ 的子空间。这种环境空间维度的降低对我们至关重要。接下来我们证明，该像实际上落入拉格朗日格拉斯曼流形 $\mathrm{LG}(n-1,V)\subset \mathrm{Gr}(n-1,V)$ 内。众所周知，$\mathrm{LG}(n-1)$ 可以与 $\mathrm{Gr}(n-1,2n-2)\cap \mathbb{P} L$ 等同，其中 $L\subset \bigwedge^{n-1}\mathbb R^{2n-2}$ 是维数等于卡塔兰数 $C_n$ 的子空间，此外它还是辛群 $Sp(2n-2)$ 对应于 Dynkin 图最后一个顶点的基础表示空间。我们进一步表明，在 \cite{L} 中发现的将 $E_n$ 的像从 $\mathrm{Gr}(n-1,2n)$ 中截取出来的线性关系定义了该空间 $L$。这将 \cite{L} 中发现的 $E_n$ 的组合描述与辛群的表示理论联系起来。