对称区域中 Neumann Laplacian 的特征值

本文关注在 $O(n)$ 的紧子群 $G$ 的自然作用下不变的区域中，Neumann Laplacian 特征值的重数问题。针对 V. Arnold [1] 关于 Dirichlet 积分变换相对于二次型空间中按特征值重数分层的横截性猜想，我们在 Neumann 情形下给出了部分肯定的回答。我们证明，对于 $O(n)$ 的某些子群类，在 $G$ 不变 $C^2$ 区域集合中泛型地，该作用在每个特征子空间中是不可约的。这些类包括具有维数不大于 2 的不可约表示的有限子群，以及在 $n=2$ 情形下 $O(2)$ 的任何紧子群。我们还获得了关于 $O(n)$ 一般紧子群的一些部分结果。