维度对重叠非球形超粒子渗流阈值的影响

已推导出 $d$ 维欧几里得空间中具有指定取向概率分布的重叠凸非球形（各向异性）超粒子的连续统渗流阈值 $\eta_c$ 的一组下界 [S. Torquato, J. Chem. Phys. {\bf 136}, 054106 (2012)]。这些下界中最简单的是 $\eta_c \ge v/v_{ex}$，其中 $v_{ex}$ 是超粒子的 $d$ 维排除体积，$v$ 是其 $d$ 维体积。为了研究维度对具有随机取向的重叠非球形凸超粒子阈值 $\eta_c$ 的影响，我们基于该下界和一个猜想（即对于任意 $d$，超球体在所有凸超粒子形状中提供最高阈值）获得了 $\eta_c$ 的标度关系。该标度关系利用了低维连续统渗流行为编码高维信息这一原理。我们推导出了用超粒子的 $d$ 维体积 $v$、表面积 $s$ 和{\it 平均曲率半径} ${\bar R}$（或等价地，{\it 平均宽度}）表示的排除体积 $v_{ex}$ 公式。针对各种非球形超粒子形状及其在所有维度上的随机取向计算了这些基本几何性质，其中包括 $d=2$ 时的各种多边形，$d=3$ 时的柏拉图立体、球柱体、平行六面体和零体积平板，以及 $d \ge 4$ 时的相应推广。随后，我们计算了这套全面的跨维度连续统渗流模型的 $\eta_c$ 下界和标度关系。我们表明，该标度关系提供了跨维度的阈值 $\eta_c$ 的准确{\it 上界}估计，并且随着空间维度 $d$ 的增加而变得愈发准确。