维度对各类$d$维晶格渗流阈值的影响

我们解析地证明了对于一般$d$维晶格上的座渗流和键渗流，平均团簇数$S(p)$的$[0,1]$、$[1,1]$和$[2,1]$ Padé近似是该量在任何欧几里得维度$d$上的上界，其中$p$是占据概率。这些结果导致渗流阈值$p_c$的某些下界，这些下界随着$d$的增加而逐渐收紧，并在$d$很大时渐近精确。这些下界估计依赖于$d$维晶格的结构以及考虑的是座渗流还是键渗流。我们获得了五种不同晶格上座渗流和键渗流的$p_c$显式下界：$d$维简单立方、体心立方和面心立方布拉维晶格，以及$d$维金刚石和kagomé（或烧绿石）非布拉维晶格。这些解析估计用于评估跨维度（某些情况下高达$d=13$）的现有模拟结果。值得注意的是，最紧的下界在相对较低的维度中提供了$p_c$的合理估计，并且随着$d$的增长变得越来越精确。我们还推导了十个渗流问题$p_c$的高维渐近展开，并将其与Bethe晶格近似进行比较。最后，我们讨论了随着维度增长$S$以$p$为幂的级数展开的收敛半径。