大维变形矩形矩阵的边缘统计

我们考虑形式为 $Y_t=Y+\sqrt{t}X$ 的大维变形矩形矩阵的边缘统计，其中 $Y$ 是一个 $p \times n$ 确定性信号矩阵，其秩与 $n$ 同阶，$X$ 是一个 $p\times n$ 随机噪声矩阵，其元素为方差 $n^{-1}$ 的居中独立同分布条目，$t>0$ 给出噪声水平。该模型在大规模多输入多输出（MIMO）系统研究中被称为干扰加噪声矩阵，属于所谓信号加噪声模型的范畴。对于 $t=1$ 的情形，该模型的光谱统计在文献中已被一定程度研究。在本文中，我们在更困难的 regime $n^{-2/3}\ll t \ll 1$ 下研究 $Y_t$ 在奇异值谱最右边缘附近的奇异值与奇异向量统计。该 regime 比 $t=1$ 的情形更困难，因为一方面，由于 $t\ll 1$ 为“小”，$YY^\top$ 经验谱分布（ESD）的边缘行为对 $Y_tY_t^\top$ 的边缘统计有强烈影响；另一方面，由于 $t\gg n^{-2/3}$ 为“大”，$Y_t$ 的边缘统计也不仅仅是 $Y$ 的边缘统计的扰动。在对 $Y$ 的某些正则性假设下，我们证明了矩阵 $Y_tY_t^\top$ 与 $Y_t^\top Y_t$ 的边缘普适性、特征值刚性与特征向量离域性。这些结果可用于估计和推断大规模 MIMO 系统。为证明主要结果，我们分析了 $Y_tY_t^\top$ 的渐近 ESD 的边缘行为，并建立了关于 $Y_tY_t^\top$ 预解式的若干锐利局部律。这些结果本身具有独立意义，并可用作关于 $Y_t$ 光谱统计的许多其他问题的有用输入。