随机化导数多项式根的动力学

本文研究多项式的迭代随机化导数根集合的渐近宏观行为。该随机化依赖于一个逆温度参数 $\beta \in (0, \infty]$，其中 $\beta = \infty$ 对应于不考虑随机化而直接对多项式求导的情形。我们的构造可与随机矩阵理论相联系：特别地，如第2节所述，当 $\beta = 2$ 且根在实轴上时，我们得到了酉不变随机矩阵子矩阵的特征值分布。我们证明了根的渐近宏观行为，即流体力学极限，不依赖于 $\beta$，并且与我们在非随机化迭代导数（即 $\beta = \infty$）情形下得到的结果一致。由于关于迭代导数的近期结果表明其极限动力学由一个非局部非线性PDE控制，我们可以将此信息转移到随机化情形的宏观行为中。我们的证明是完全显式的，并依赖于对二元三角Markov链增量（increments）的分析。