Gardner 族中呼吸子的动力学：变分表征的普适性

我们给出了聚焦型 Gardner 族中任意方程的呼吸子解的一种新的变分表征。该族由一个非负指标 $n$ 刻画，且 $2n+1$ 表示相应 PDE 成员的阶数。本文中，我们首先证明此类呼吸子的存在性，并且它们是 (2n+1) 阶 Gardner 方程的解。随后我们证明了一个变分普适性性质，即所有这些呼吸子解都满足同一个四阶驻态椭圆 ODE，而与族成员的阶数无关。这一事实也将它们刻画为同一个我们在此构造的 Lyapunov 泛函的临界点。作为我们方法的副产品，我们找到了 (2n+1) 阶 mKdV 方程族的呼吸子解，以及它们作为四阶驻态椭圆 ODE 解的一种相应表征。我们还将部分结果推广到周期情形，给出了该族中第 5 和第 7 个 mKdV 成员的新呼吸子解。最后，我们利用相应的呼吸子解证明了整个 Gardner 族的不适定性结果。