各类常规共形光滑超曲面的二元对

我们研究欧几里得 4 空间 $\mathbb{R}^4$ 中的常规共形光滑(局部)超曲面。这样的超曲面 $f$ 具有称为 $f^*$ 的二元(超曲面)，其在 $\mathbb{R}^4$ 中也是常规且共形光滑的。通过对超曲面 $f$ 反复施加倒置与二元变换的复合作用，可从单个 $f$ 中获得无数多个非等价的常规共形光滑超曲面。二元 $f^*$ 通过以原始 $f$ 表示的嵌入的全微分定义。然而，由于积分全微分的困难，$f^*$ 在 $\mathbb{R}^4$ 的确切公式并不明显。因此，对于研究常规共形光滑超曲面，阐明 $\mathbb{R}^4$ 中二元对之间的明确对应关系至关重要。本文旨在阐明二元对 $f$ 与 $f^*$ 之间的对应关系，我们通过为所有正整数 $n$ 对 $f^*$ 构造近似离散超曲面，将其表示为从 $f$ 中的 3 维网格到 $\mathbb{R}^4$ 的映射。当 $n$ 趋于 $\infty$ 时，这些近似值引导了 $f$ 与 $f^*$ 相应曲率曲面的之间的映射。