由庞加莱度量生成的泛型共形平坦超曲面中的曲率曲面——延拓与逼近

我们研究欧几里得 $4$ 维空间 $\mathbb{R}^4$ 中的泛型共形平坦(解析)超曲面。此类局部超曲面由从 $\mathbb{R}^4$ 中某曲面演化而得,因此原曲面为该超曲面的(主)曲率曲面。上半平面的庞加莱度量 ${\check g}_H$ 导出 $\mathbb{R}^2$ 上 $6$ 维有理黎曼度量 $g_0$ 的集合:在 $g_0$ 正则域中的单连通开集上,确定以 $g_0$ 为度量的曲率曲面 $f^0$,记为 $(f^0,g_0)$。本文选取由 ${\check g}_H$ 确定的 $\mathbb{R}^2$ 上合适度量 $g_0$ 以得到良好的曲率曲面(但其在 $\mathbb{R}^2$ 中亦有退化点与发散点),并阐明曲率曲面 $(f^0,g_0)$ 的结构:曲率曲面 $(f^0,g_0)$ 可解析延拓至 $g_0$ 正则集之外的 $\mathbb{R}^2$ 中何种集合,进而该延拓曲面 $(f^0,g_0)$ 定义于 $\mathbb{R}^2$ 的某开集上且在 $\mathbb{R}^4$ 中有界;对于该延拓曲面 $(f^0,g_0)$,我们显式刻画退化点集合以及每条主曲率线两端在 $\mathbb{R}^4$ 中的极限,且对某一主曲率的每条线,其两个极限为标准 $2$ 球面 $\mathbb{S}^2$ 中的平行小圆。进而,延拓曲面 $(f^0,g_0)$ 中的每条主曲率线由超曲面诱导于曲面上的 $\mathbb{R}^4$ 标架场表示,并位于具有依赖于线的半径的标准 $2$ 球面 $\mathbb{S}^2$ 上。我们还给出构造此类标架场逼近的一般方法,并得到包含 $(f^0,g_0)$ 退化点的这些线的整体图像。