正定函数法处理互无偏基的对偶界

一个长期未决的开放问题询问在$\mathbb{C}^6$中能否存在7个互无偏基(MUBs)，或更一般地，在非素数幂的任意$d$中能否存在$d + 1$个MUBs。Kolountzakis、Matolcsi和Weiner(2016)的近期工作提出了正定函数方法(编码理论中Delsarte方法及独立集问题Lovász半定规划松弛的近亲)的一种应用，作为以否定方式回答该问题的手段。即，他们询问是否存在满足多种性质的酉矩阵输入多项式，该多项式通过正定函数方法可证明$\mathbb{C}^6$中7个MUBs的不存在性。利用凸对偶论证，我们证明这样的次数至多为6的多项式不可能存在。我们还提出一个一般对偶证书，并猜想其可证明该方法永远不能表明在$\mathbb{C}^d$中存在严格少于$d + 1$个MUBs。