$\mathbb{C}^6$ 中支持与反对 Zauner 互无偏基猜想的证据

对于非素数幂 Composite 维数 $d$，寻找可证明极大的互无偏基（MUB）集合的问题仍完全开放。在第一个有趣的情形 $d=6$ 中，Zauner 预测不存在多于三个 MUB。我们通过考察其在有限域上向量空间中的“影子”来探索 $d=6$ 中可能的代数解。主要结果是：若存在一个反例违背 Zauner 猜想，则它在模若干不同素数约化后不会留下此类影子，从而迫使它的代数复杂度水平远高于当前已知例子。然而，在素数幂 $q \equiv 5 \bmod 12$ 的情形，我们能够展示某些奇怪证据——至少形式上——指向相反方向。在 $\mathbb{C}^6$ 中，甚至从未找到一个与三个 MUB 集合互无偏的向量。但在这些有限域中，我们找到了三个“广义 MUB”集合以及一个假设的第四个 MUB 的四向量正交规范集，它们均可自然提升到一个数域。