双截面与支配映射

众所周知，存在从平面到去掉两点的 Riemann 球面 $\PP^1$ 的非常数全纯映射，其最简单例子是通过先应用指数映射再复合一个将 0 与 $\infty$ 映到所给两个穿孔点的 Möbius 变换而显式实现的均匀化映射。类似地，我们可以通过对 $\infty$ 直接应用一个映到该穿孔点的 Möbius 变换，将平面映入去掉一个点的球面。本文用不同方法证明了该均匀化结果的两个参数化版本。我们首先给出一个利用复分析、稍易的版本，它使我们能由给定的初始坐标大致显式地构造均匀化映射。随后给出更一般且坐标不变的版本，我们通过将 Kodaira 的 Jacobian 纤维化理论推广到由代数几何构造的一族奇异曲线来证明。最后，利用 Jacobian 纤维化所得结果，我们得到复曲面上非双曲纤维化于复曲线之上被 $\CC^2$ 全纯支配的两个等价条件。在定理 \ref{thm:surf} 中，我们证明该可支配性等价于显然更弱的条件——$\CC$ 的 Zariski 稠密像的存在性，也等价于底曲线的拟射影性连同 orbifold Euler 特征的非负性。