双重场论、扭量理论与四维流形中的可积性

对弦论中对偶性（尤其是T对偶）的几何理解之探索，推动了现代T对偶协变框架的发展，例如双重场论（Double Field Theory），其数学结构可从广义几何以及近年来的仿厄米几何（para-Hermitian geometry）加以理解。在本工作中，我们将与这种双重几何相关的技术应用于四维流形，并表明它们特别适用于分析特殊时空中的可积性，尤其是与彭罗斯扭量理论及其在广义相对论中的应用相关联时。这显示了双重场论的仿厄米方法中的某些几何结构与爱因斯坦方程的代数特殊解中的几何结构之间的密切关系。具体结果包括对不同符号下的四维（可能为复值）的（仿）厄米结构的分类、特殊时空的李代数胚与Courant代数胚结构，以及（仿）复结构形变的分析。我们还讨论了与框架中自然规范自由度相关的“加权代数胚”概念。最后，我们分析了与二维和三维（实与复）扭量空间的联系，以及前者如何由后者理解，特别是通过扭量族来理解。