从强相容图视角看 Dold 定理

设 $G$ 为非平凡有限群。著名的 Dold 定理指出：不存在从 $n$-连通单纯 $G$-复形到维数至多为 $n$ 的自由单纯 $G$-复形的连续 $G$-等变映射。本文通过将“维数至多为 $n$”替换为一个更锐利的组合参数，给出了 Dold 定理的一个新推广。事实上，该参数是与目标空间相关联的一类新图（称为强相容图）的色数。此外，在一系列例子中，我们将看到可以从该推广中推断出比普通 Dold 定理多得多的信息。特别地，我们表明对于“几乎所有自由 $\mathbb{Z}_2$-单纯复形”，这一新参数显著优于目标空间的维数。此外，还将介绍强相容图的其他一些应用。特别地，将给出一种从 $n$-维球面 $\mathbb{S}^n$ 构造具有高色数的无三角形图的新方法，以及关于确定图的色数的拓扑方法局限性的一些新结果。