复流形上的Dolbeault-Morse-Novikov上同调及其应用

在本文中，我们通过研究Dolbeault-Morse-Novikov上同调来探究复流形的拓扑性质。通过建立一个积分不等式，我们得到了两个主要结果：（1）当一个闭复流形允许一个非零的平行$(0,1)$-形式时，Dolbeault-Morse-Novikov上同调必定是平凡的，这意味着Hirzebruch $\chi_{y}$-亏格为零。（2）当一个闭复流形允许一个无处消失的$(0,1)$-形式时，我们为某一类扭曲狄拉克算子建立了一个消失定理，这也迫使Hirzebruch $\chi_{y}$-亏格为零。特别地，我们证明了闭复流形的Hirzebruch $\chi_{y}$-亏格为零当且仅当该流形允许一个无处消失的实向量场。这些结果将一些经典定理从黎曼流形推广到了复流形的情形。作为一个集大成的应用，我们证明了在允许正全纯标量曲率的闭Gauduchon流形上，Hirzebruch $\chi_{y}$-亏格必定为零。