半单李群中的格点与群图的发散性

度量空间的发散函数估计了连接两点 $A$、$B$（距离 $\le n$）且避开围绕第三点 $C$ 的足够大球体的路径长度。我们将具有非线性发散函数的群刻画为在其渐近锥中具有割点的群。根据 Olshanskii-Osin-Sapir 的结果，该性质弱于具有 Morse（秩 1）拟测地线的性质。利用我们对 Morse 拟测地线的刻画，我们给出了 Farb-Kaimanovich-Masur 定理的新证明，该定理指出映射类群不能包含更高秩半单李群中不可约格点的副本。这也推广了 Birman-Lubotzky-McCarthy 关于映射类群中可解子群的结果，这些子群未被 Ivanov 和 McCarthy 的 Tits 替代定理涵盖。我们表明，任何在单纯树或局部紧双曲图上非圆柱作用 (acylindrically) 的群总是拥有“许多”周期性 Morse 拟测地线（即 Morse 元素），因此其发散函数绝非线性的。我们还表明，当双曲图满足比局部紧致性更弱的 Bowditch 性质时，在许多情况下同样的结果也成立。这为 Behrstock 的结果提供了新证明，即映射类群中的每个伪阿诺索夫元素都是 Morse 的。另一方面，我们猜想更高秩半单李群中的格点总是具有线性发散性。我们在 $\mathbb{Q}$-秩为 1 的情况下以及当格点为 $SL_n(\mathcal{O}_S)$ 时证明了这一点，其中 $n\ge 3$，$S$ 是数域 $K$ 的有限赋值集（包括所有无限赋值），$\mathcal{O}_S$ 是相应的 $S$-整数环。