扩展耗散系统中的能量分布与平衡态收敛

我们致力于理解无界空间域上耗散偏微分方程的动力学。我们考虑那些能量密度$e \ge 0$满足形式为$\partial_t e = div_x f - d$的演化律的系统，其中$-f$为能量通量，$d \ge 0$为能量耗散率。我们还假设对于某个非负函数$b$，有$|f|^2 \le b(e)d$。在这些假设下，我们建立了关于时间积分能量通量的简单且普适的界限，进而使我们能够估计在长时间间隔内给定域中耗散的能量量。在低空间维度$N \le 2$下，我们推导出任何相对紧致的轨迹在平均意义上收敛于平衡态集合，并以精确量化的方式描述了这一收敛。作为应用，我们考虑了无限圆柱$\R \times \T$中的不可压缩 Navier-Stokes 方程，并证明了对于仅有界的解，若忽略时间区间的一个小子集，其涡度在大子域上一致收敛于零。