Richards 方程有限元离散化的离散正性与最大值原理
数值分析
2026-05-12 v1 数值分析
摘要
Richards 方程的标准有限元离散化可能违反离散极小值原理，产生非物理的负饱和度。虽然现有的保界方法通常依赖于计算成本高昂的全隐式求解器，但我们提出了一种利用有界连续辅助变量的新型半隐式有限元框架。我们的方法使用线性隐式技术处理重力驱动的对流项，改善了显式重力方法在退化极限附近所需的时间步长限制。我们提供了严格的数学证明，确立了离散正性和离散最大值原理的充分几何与代数约束，具体为局部 Péclet 条件和离散行和条件。当这两个条件在带质量集中的锐角网格上均得到满足时，我们的框架确保数值解在高度退化条件和初始干燥土壤状态下严格遵循物理界限。全面的数值验证在多种水流状态下展示了该方法，包括满足代数条件、违反代数条件以及通过网格细化恢复代数条件的情况。
引用
@article{arxiv.2605.09615,
title = {Discrete positivity and maximum principles for a finite element discretization of the Richards equation},
author = {Abderrahmane Benfanich and Yves Bourgault and Abdelaziz Beljadid},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.09615},
year = {2026}
}