离散 Painlevé 方程、Miwa 变量与 5 维矩阵模型中的弦方程

共形矩阵模型(CMM)的现代版本描述了 Dijkgraaf-Vafa 相中的共形块。因此它具有行列式表示，并且仅在对内禀维度进行一种特殊的傅里叶变换后才成为 Toda 链 $\tau$-函数。此外，在 CMM 中，Hirota 方程以一种特殊的离散形式出现（当 CMM 的耦合实际为 Miwa 时间变量时）。相反，这一可积性质实际上独立于原始超几何积分中的测度。为了得到超几何函数，需要选取一个满足附加“弦方程”的非常特殊的 $\tau$-函数。通常，这一角色由最低的 $L_{-1}$ Virasoro 约束扮演，但在 Miwa 变量下，它转变为关于 Miwa 变量的有限差分方程。人们可以通过用偏移 $\tau$-函数的某些双比来重写弦方程，从而摆脱这些差分，随后这些比值满足更复杂的方程，等价于 M. Jimbo 和 H. Sakai 的离散 Painlevé 方程（$q$-PVI 方程）。它们在 $q$-形变（$“5d”$）矩阵模型中看起来简单得多，而在趋于 $4d$ 的 $q\longrightarrow 1$ “连续”极限中，应考虑具有非单位重数的 Miwa 变量，这最终将简单的离散 Painlevé $q$-PVI 转化为复杂的微分 Painlevé VI 方程，后者将在别处讨论。