分形 $d$-集上的 Dirichlet-to-Neumann 或 Poincar\'e-Steklov 算子

在由 $\mathbb{R}^n$ 中外区域上的 Robin 边值问题所描述的 Laplacian 输运框架下，我们将 Poincar\'e-Steklov 算子的定义推广至 $d$-集边界（$n-2< d<n$），并给出其谱性质，以便与内域及作为外域近似情形的截断域的谱进行比较。在 $n$-集的一般框架下，给出了截断域和外域上 Robin 边值问题的适定性。这些结果的获得得益于 Sobolev、Lebesgue 和 Besov 空间中迹算子和延拓算子的连续性与紧性性质的推广，特别是通过推广适用于 $n$-集和 $d$-集的经典 Rellich-Kondrachov 紧嵌入定理。