双拉普拉斯算子具有最优先验收敛率的直接保证下界特征值

一种额外稳定的Morley有限元方法（FEM）直接计算双拉普拉斯Dirichlet特征值的保证下界特征值，并具有最优先验收敛率。关于最大网格尺寸$h_{\max}$的小性假设$\min\{\lambda_h,\lambda\}h_{\max}^{4}$ $\le 184.9570$（$2$D中）（相应地为$3$D中$\le 21.2912$）使得计算的第$k$个离散特征值$\lambda_h\le \lambda$成为第$k$个Dirichlet特征值$\lambda$的下界特征值。这对多重及成簇特征值均成立，并用于双拉普拉斯Dirichlet特征值的定位，尤其适用于粗网格。分析需要任意空间维数$n\ge 2$下带显式常数的Morley FEM插值误差估计，这具有独立意义。$3$D中的收敛分析遵循Babuška-Osborn理论，并依赖于Morley有限元方法的伴算子。这基于Worsey-Farin的Hsieh-Clough-Tocher宏元的$3$D版本，并在将每个四面体进一步分解为$12$个子四面体时对中心点进行仔细选取。二维数值实验支持了额外稳定Morley FEM的最优收敛率，并提出了具有最优经验收敛率的自适应算法。