特征值簇高阶自适应有限元方法的收敛性与最优性

近年来已有若干论文给出了用于逼近线性椭圆问题特征值与特征函数的自适应有限元方法的收敛性证明。Dai 等人 (2014) 为多重特征值与聚集特征值建立此类结果提供了关键步骤，他们证明了针对重数大于一的特征值，AFEM 的收敛性与最优性。该研究证明了标准收敛证明所适用的理论（不可计算的）误差估计子与标准可计算估计子在足够细的网格上是等价的。Gallistl (2015) 使用类似工具证明了，使用连续分片线性有限元空间控制 Laplace 算子特征值簇的标准自适应 FEM 以最优速率收敛。然而，当考虑高阶有限元空间或非常数扩散系数时，Dai 等人与 Gallistl 的论证无法得出聚集特征值情形下实用估计子与理论估计子的等价性。在本文中，我们补全了这一缺失的关键步骤，从而证明采用任意多项式次数单元的标准自适应 FEM 针对特征值簇以最优速率收敛。我们进一步证明，AFEM 中一个由用户定义的关键输入参数——体标记参数——可以完全独立于目标特征值簇的性质来选择。所有这些结果均假设初始网格满足细度条件，以确保非线性被充分分辨。