上同调双曲映射的动力学

设 $f:X \longrightarrow X$ 为一个复紧连通 Kähler 流形上的上同调双曲映射，其中 $dim_{\mathbb{C}}(X)=k \ge 1$。我们想从概率的角度研究此类映射的动力学，即试图描述一般点的轨道 $O_{f} (x) = \{f^{n} (x), n \in \mathbb{N}$ 或 $\mathbb{Z}\}$ 的渐近行为。为此，利用多重势方法，我们将构造一个自然的不变标准最大熵概率测度 $\mu_{f}$ ，使得对 $X$ 中每个光滑概率测度 $\Theta$ 都有 $\lambda_{\max}^{-n}(f^{n})^{\star}\Theta \longrightarrow \mu_{f}$ ，其中 $\lambda_{k} := \limsup_{n\longrightarrow \infty} \{||(f^{n})^{\star}||^{\frac{1}{n}}\}\}$ 为 $X$ 中一般点经 $f$ 的原像个数。然后我们将研究 $\mu_{f}$ 的主要随机性质，并在可能时证明在某些假设下 $\mu_{f}$ 是平衡测度、光滑的、双曲的、遍历的、混合的、$\mathbb{K}$ -混合的、指数混合的、适度的，且是唯一的最大熵测度，关于 LEBESGUE 测度和 HAUSDORFF 测度绝对连续。另一方面，我们将引入完美测度与 $\mathbb{K}$-完美测度的概念，并确实证明 $\mu_{f}$ 是 $\mathbb{K}$-完美的。