与凸集相关的Hardy–Littlewood极大算子的无维数界

本综述基于作者2013年春季在巴黎UPMC Jussieu的“凸性与概率”研讨会上的一系列讲座。它致力于高维线性空间中与对称凸集相关的最大值不等式，这一主题主要在1982至1990年间发展，但最近因进一步进展而焕新。该系列聚焦于证明这些最大值函数在$L^p(\mathbb{R}^n)$中的不等式，其界与维度$n$无关，在最佳情况下对所有$p \in (1, +\infty]$成立。该程序由Elias Stein于1982年发起，他获得了任意维度欧几里得球族的第一个此类定理。我们展示了在这一思路下由Bourgain、Carbery和Müller在1986--1990年间证明的几个结果，以及Bourgain(2014)针对任意维度立方体族的新结果。我们用Aldaz、Aubrun和Iakovlev--Strömberg在2009至2013年间得到的关于弱类型$(1, 1)$常数的否定结果补充了立方体情形。