分支奇异域上的扩散：可解性与细正则性

我们考虑一个域 $\Omega\subseteq\mathbb{R\!}^{\,2}$，其分支奇异边界 $\Gamma^{\infty}$ 和参数 $\tau\in[1/2,\tau^{\ast}]$ ，其中 $\tau^{\ast}\simeq 0.593465$ ，由 Achdou 和 Tchou 引入，用以理想化肺部系统中的支气管树。 对于每个 $\tau\in[1/2,\tau^{\ast}]$，相应的区域 $\Omega$ 是一个非 Lipschitz 域，其最粗糙结构在临界参数 $\tau=\tau^{\ast}$ 处达到，在此端点参数下，区域 $\Omega$ 无法成为延拓域，其分支边界 $\Gamma^{\infty}$ 也非后临界有限。 然后，我们考察一个与肺部支气管树氧气扩散相关的模型方程，通过考虑具有非均匀混合类型边界条件的广义扩散方程的实现。 在最小假设下，我们首先显示上述扩散方程的平稳版本是唯一可解的，并且相应的弱解在 $\overline{\Omega}$ 上全局 H"older 持续。 由于我们包含临界情况 $\tau=\tau^{\ast}$，这是首次在非延拓域上获得弱解的全局一致连续性。 此外，在两个过渡程序之后，我们证明了非均匀时依赖扩散方程的唯一可解性，并显示相应的弱解在 $[0,T]\times\overline{\Omega}$ 上全局一致连续，其中 $T>0$ 为固定参数。