外区域上 Laplace 算子的行列式

我们考虑单连通平面域的类，它们是等相的，即对所有 $\l > 0$ 具有相同的散射相 $s(\l)$。这是等谱域的散射理论类比。利用热不变量和 Laplace 算子的行列式，Osgood、Phillips 和 Sarnak 证明了每个等谱类在自然的 $C$-无穷拓扑中是列紧的。在本文中，我们证明每个等相域类的列紧性。为此我们定义外 Laplace 算子的行列式，并将其与热不变量（热不变量与行列式均为等相不变量）一起使用。我们证明内部与外 Laplace 算子的行列式满足 Burghelea-Friedlander-Kappeler 型的手术公式。这使得问题可归约为有界域上的问题，从而可适调 Osgood、Phillips 和 Sarnak 的方法。