Teichmüller 空间上长度函数的导数与剪切坐标

设 $S$ 为亏格至少为 $2$ 的闭定向曲面，并用 $\mathcal{T}(S)$ 表示其 Teichmüller 空间。对于任意闭曲线的同伦类 $\gamma$，我们计算长度函数 $\ell_\gamma:\mathcal{T}(S)\rightarrow\mathbf{R}_+$ 在关联于极大测地层 $\lambda$ 的剪切坐标中的前三阶导数。我们证明若 $\gamma$ 与 $\lambda$ 的每片叶子相交，则 $\ell_\gamma$ 的 Hessian 是正定的。我们将此结果扩展到测度层的长度函数。我们还提供计算测地线长度函数高阶导数的方法。我们使用 Bonahon 的横向前 Hölder 分布与剪切坐标理论。