导数信息化的傅里叶神经算子：通用逼近及其在偏微分方程约束优化中的应用
机器学习
2026-03-17 v2 数值分析
数值分析
摘要
我们提出针对导数信息化傅里叶神经算子 (DIFNO) 的逼近理论和高效训练方法，并将其用于偏微分方程约束优化。DIFNO 是一种通过在高保真算子（例如参数化偏微分方程解算子）的输出和 Fréchet 导数样本上最小化预测误差来训练的 FNO。结果表明，DIFNO 能够不仅模拟高保真算子的响应，还能模拟其敏感性。为论证不使用 DIFNO 而非常规 FNO 作为代理模型的理由，我们展示，准确的代理驱动的偏微分方程约束优化需要准确的代理 Fréchet 导数。随后，我们在紧凑集合上证明了 (i) 连续可微算子及其 Fréchet 导数由 FNO 同时进行的通用逼近，以及 (ii) 在带权 Sobolev 空间中，FNO 对具有无界支撑输入测度的连续可微算子进行通用逼近。我们的理论结果认证明了了 FNO 在准确地进行导数信息化算子学习以及求解偏微分方程约束优化问题中的能力。此外，我们开发了高效的训练方案，利用降维和多分辨率技术显著降低了 Fréchet 导数学习的内存和计算成本。数值实例表明，在非线性扩散-反应、Helmholtz 方程和 Navier--Stokes 方程上，DIFNO 在算子学习和求解无限维偏微分方程约束逆问题中在样本复杂度方面优于常规 FNO，在低训练样本规模下实现了高精度。
引用
@article{arxiv.2512.14086,
title = {Derivative-Informed Fourier Neural Operator: Universal Approximation and Applications to PDE-Constrained Optimization},
author = {Boyuan Yao and Dingcheng Luo and Lianghao Cao and Nikola Kovachki and Thomas O'Leary-Roseberry and Omar Ghattas},
journal= {arXiv preprint arXiv:2512.14086},
year = {2026}
}