McCool 群的稠密与空 BNSR 不变量

若一个自由群 $F_n$ 的自同构将每个生成元映射为其本征的一个，那么称为纯粹对称自同构。由所有纯粹对称自同构组成的群记为 $\mathrm{PSA}_n$，其商 $\mathrm{PSO}_n$ 相对于内自同构群称为 McCool 群。在本文中，我们证明 McCool 群的每个 BNSR 不变量 $\Sigma^m$ 要么是稠密的，要么是空的，并精确描述了每种情况何时发生。我们的技术涉及理解 McCool 群中 Abel 子群的高阶生成属性，这源自 McCullough-Miller 空间。我们还通过利用 Meinert 提出的判定字符是否位于 $\Sigma^2$ 的通用标准，进一步调查了 McCool 群第二个不变量 $\Sigma^2$ 的属性。