上 McCool 群的 Chen 秩与共振簇

秩为 $n$ 的自由群的基础共轭自同构群，也称为 McCool 群或焊接辫群 $P\Sigma_n$，包含一个被深入研究过的子群，称为上 McCool 群 $P\Sigma_n^+$。从 $P\Sigma_n^+$ 的上同调环出发，我们通过 Gr"obner 基计算找到了该群的无穷小 Alexander 不变量的一个简单表示，并由此确定了上 McCool 群的共振簇与 Chen 秩。这些计算揭示出，与纯辫群 $P_n$ 和完整 McCool 群 $P\Sigma_n$ 不同，Chen 秩猜想对任意 $n\ge 4$ 在上 McCool 群 $P\Sigma_n^+$ 上不成立。因此，$P\Sigma_n^+$ 在该范围内不同构于 $P_n$，从而回答了 Cohen、Pakianathan、Vershinin 和 Wu 的一个问题。我们还确定了共振簇 $\mathcal{R}_1(P\Sigma_n^+)$ 的概形结构，并证明这些概形在 $n\geq 4$ 时非既约。