Dehn 填充与纽结群 I：实现性质

对 $S^3$ 中纽结 $K$ 的补空间 $E(K)$ 的每次 $r$-Dehn 填充产生一个 $3$-流形 $K(r)$，并诱导一个从纽结群 $G(K) = \pi_1(E(K))$ 到 $\pi_1(K(r))$ 的满同态，该同态将其核中的元素平凡化。对 each element $g \in G(K)$，考虑所有非平凡 Dehn 填充并赋予 \mathcal{S}_K(g) = \{ r \in \mathbb{Q} \mid \textrm{r-Dehn 填充平凡化}\ g \} $\subset \mathbb{Q}$。$\mathbb{Q}$ 的哪些子集可以作为 $\mathcal{S}_K(g)$ 出现？性质 P 关注此问题并给出一个基本结果，断言空集可由 $K$ 的经线 $\mu$ 对应的 $\mathcal{S}_K(\mu)$ 实现。设 $K$ 为双曲纽结。则已知对所有非平凡元素 $g \in G(K)$，$\mathcal{S}_K(g)$ 为有限集。我们证明在一般情形下，例如若 $K$ 无例外手术，则任意有限（可能为空）斜率族 $\mathcal{R} = \{ r_1, . . . , r_n \}$ 可由某个元素 $g \in G(K)$ 对应的 $\mathcal{S}_K(g)$ 实现。此外，存在无穷多个互相非共轭的此类元素，其中每个都不与 $g$ 的任意幂共轭。我们还给出一个例子表明上述实现性质并非无条件成立。